A barátságos számok

 „Számok uralják a világot.”   

Püthagorasz

I.e. az V. században a püthagoreusoknál találkozunk először ezzel a fogalommal. Szerintük az ilyen tulajdonsággal bíró számok különleges kapcsolatban állnak egymással, amelyet képesek emberekre is átvetíteni. A püthagoreus számmisztikában a 220 és a 284 a barátság szimbólumai. Két szám baráti viszonyban van, ha bármelyikük önmagánál kisebb osztóinak összege kiadja a másikat, pl.: 220; 284.

220 osztóinak összege: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 és fordítva is igaz. A következő ilyen számpárt (1 184; 1 210) csak az 1800-as évek végén találta meg egy 16 éves olasz diák. A 20.században kiterjesztették a fogalmat kettőnél több számra is, azaz barátságos láncokat képeztek az osztók összege szerint.  Az ily módon önmagába visszatérő sorozatot alkotó számcsoportokat társas számoknak nevezték el.  Például az 1264460, 1547860, 1727636, 1305184 társas számnégyes, mivel 1305184 osztóinak összege ismét 1264460-at ad. Eddig összesen 127 ilyen tulajdonsággal rendelkező csoportot találtak.

Későbbi az 1 184 és 1 210. A baráti számpárok megkeresésének módját Szábit ibn Kurra (836-901) arab matematikus ismertette. Fermat (1601-1665), és tőle függetlenül a lengyel Brozsek (1585-1652),fedezte fel a 17 296 és 18 416 párt. (Brozsek bebizonyította továbbá, hogy 1-10 000 000 között csak 4 tökéletes szám van). Descartes-tól (1596-1650) származik a 9 363 584 és 9 437 056. Euler (1707-1783), még további 61 baráti számpárt adott meg!

Az 1960-as években az amerikai Yale Egyetemen, számítógéppel keresték meg az 1.000.000-nál kisebb baráti számpárokat. 42 ilyen számpárt találtak.

2 620 és 2 924	5 020 és 5 564	6 232 és 6 368	10 744 és 10 856	12 285 és 14 595
63 020 és 76 084	66 928 és 66 992	67 095 és 71 145	69 615 és 87 633	79 750 és 88 730

E számpárokhoz a keleti világban a következő történet kapcsolódik:

Élt egyszer egy szultán, aki nagy problémamegoldó hírében állt. Egy nap a palotája őreitől hallotta, hogy a legutóbbi háborúban foglyul ejtettek egy távoli országból származó matematikust. Az uralkodó másnap cellájában meglátogatta a tudóst, és a következő ajánlatot tette neki: „Életed végéig itt fogsz raboskodni, hacsak fel nem adsz nekem egy nehéz példát. Ameddig megoldom, szabadon járhatsz-kelhetsz, ám ha rájöttem a megfejtésre, fejedet vétetem.” A messziről jött matematikus nem sokat gondolkodott a feladványon: „A 220 önmagánál kisebb osztóinak összege 284, a 284 önmagánál kisebb osztóinak összege 220. Találj még egy ilyen számpárt, ó, szultán!” A tudós a legenda szerint végül öregkori végelgyengülésben lelte halálát, mivel a szultán nem tudott előállítani újabb barátságos számpárt.

Érdekes sejtés, hogy a baráti számpárok mindkét száma, egyszerre páros vagy egyszerre páratlan. Az sem bizonyított, de úgy tűnik, hogy a számpárok növekedésével az egymáshoz tartozó két szám hányadosa az 1-hez közeledik. De mindkettő csak sejtés…

Forrás: http://www.erdekessegek.hu/index2_13.htm

Tökéletes számok

Valamely pozitív egész számot tökéletesnek tekintünk, ha egyenlő az önmagától különböző osztóinak összegével. Az első ilyen a 6, mivel felírható 1, 2 és 3 összegeként. Érdekes, hogy a hasonló tulajdonsággal rendelkező számok igen ritkán fordulnak elő: a mellékelt táblázatban felsoroltuk az első nyolcat.

6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128

Eukleidész (i.e. 300 körül) kezdte vizsgálni a tökéletes számok előállítását. A következő módszerre jött rá: adjuk össze el 1-től kezdve a 2 egymás után következő hatványait – azaz kezdjük el összegezni az 1, 2, 4, 8, 16, stb. sorozatot! Ha az összeg éppen prímszám, akkor szorozzuk ezt meg a sorozat utolsó tagjával, és tökéletes számot kapunk. Próbaképpen a 496 előállítása: 1+2+4+8+16=31 (prímszám), 31∙16=496.

Eukleidész tudta, hogy ha 2^k+1 -1 törzsszám, (ahol is "k" természetes szám), akkor 2^k (2^k+1 -1) tökéletes szám.

Már Euler (1707-1783) kimutatta, hogy fordítva is így van, azaz hogy az összes páros tökéletes szám, 2^k (2^k+1 -1) alakú.

Az ötödik tökéletes számot Regiomontanus (1436-1476) találta meg. Ez a k=12-höz tartozó, 2¹² (2¹³-1) = 33 550 336. A XVI. században Johann Seheybl (1494-1580) tübingeni matematikus a hatodik és a hetedik tökéletes számot fedezte fel, a k =16 és a k =18 kitevõk esetén. Euler a k = 30-ra mutatta ki, hogy 2³⁰ (2³¹ -1) is tökéletes szám.

A XIX. században négy új tökéletes számot ismertek meg. Ezek a 2⁶⁰ (2⁶¹ -1), a 2⁸⁸ (2⁸⁹ -1), a 2¹⁰⁶ (2¹⁰⁷ -1) és a 2¹²⁶ (2¹²⁷ -1).

A XX. században már számítógépekkel vadásztak a tökéletes számokra. Az eredmény: 2⁵²⁰ (2⁵²¹ -1), a 2⁶¹⁶ (2⁶¹⁷ -1), a 2¹²⁷⁸ (2¹²⁷⁹ -1), a 2²¹⁷⁰ (2²¹⁷¹ -1), a 2²²⁰² (2²²⁰³ -1), a 2²²⁸⁰ (2²²⁸¹ -1), a 2³²¹⁶ (2³²¹⁷ -1), és a 2⁴⁴⁴⁹⁶ (2⁴⁴⁴⁹⁷ -1).

Püthagorasz szerint a nem tökéletes számok osztóik összege szerint lehetnek fogyatékosak vagy bővelkedők. Az előbbire példa a 8 (mivel 1+2+4=7 < 8), az utóbbira a 12 (1+2+3+4+6=16 > 12). Érdekességképpen megjegyezzük, hogy egy tökéletes szám többszöröse mindig bővelkedő, valamint minden 20161-nél nagyobb szám felírható két bővelkedő szám összegeként. Hasonlóképpen minden tökéletes szám osztója fogyatékos, csakúgy, mint a prímszámok, illetve ezek többszörösei.

Sokszög-számok
 

Püthagorasz az elsők között hozta kapcsolatba a geometriát az aritmetikával. Megkülönböztetett három-, négy-, öt- és hatszögszámokat aszerint, hogy az adott szabályos sokszöget hány egyenlő távolságban elhelyezett kavicsból lehet kirakni. Beszéltek ezeken kívül téglalap- tetraéder-, gnómon- (L alakba rendezhető), stb. számokról. Lineárisnak nevezték azon kavicsmennyiségeket, amelyeket kizárólag egy szakasz mentén tudtak lerakni – ma ezeket prímeknek hívjuk.

Hány egyjegyű, kétjegyű, háromjegyű, négyjegyű palindrom szám van?

Érdekes feladványokat olvastam nemrég…

„Aru kandaru netsi sőre za!” Szenczi Molnár Albert

„Intüs iken tellek gem

Tegyén ibböt aed nenevele tlenyel kacstőttek

Netsi ajdut acóipa etlánszah lóttányossza rebme

Geteba sovroza idrék! „  Csákány Béla

Még izgalmasabb, a tükrös mondat, vagyis palindrom, ami azt jelenti, ha egy mondatnak a végéről indulva visszafelé haladva olvasod el az adott mondatot, akkor ugyanazt kapod. 

Indul a pap aludni. 

A fasori pap papirosa fa. 

Géza, kék az ég. 

Évák eledele kávé.

Kereket lappal tekerek. (Watt gözgépe)

Palindrom férfinevek: Ede, Ottó

Találsz-e még?

Palindrom női név: Anna

Találsz-e még?

Keressetek idegen nyelvű palindrom mondatokat!

Palindromszámok

Lényegében nullától kilencig minden egyjegyű szám palindrom. Utána pedig 11, 22, 33, 44, 55...  így folytatódik a sor, egészen 99-ig... Majd 101, 111, 121 stb... A legközelebbi palindrom évszám 2002 volt, a következőig még száz évet 2112-ig várhatunk!

Palindrom dátum: 2011. 11. 02. 

Hány egyjegyű, kétjegyű, háromjegyű, négyjegyű palindrom szám van?

Palindrom prímek: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, …

Palindrom négyzetszámok halmaza: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …

A csupa 1 számjegyekből álló számok négyzetre emelésével milyen számokat kapunk?

Szimmetriák a zenében

Hangsorok, a strófák, a népdalainkban gyakori kvintváltás (pl.:"Érik a ropogós cseresznye…" , amely betűkkel kifejezve tükörszimmetriát is mutat, vagy a "Hej, Jancsika, Jancsika…" kezdetű karádi (Somogy) gyűjtésű népdalban.

A kánonokban megtestesülő utánzás ugyancsak az eltolási szimmetriára ad példát. Ritka szép példány J. S. Bach egy kánonja, amelyben a második szólam az első szólam centrális tükörképét énekli.

Találhatunk azonban tengelyes tükrözésre is példát J. S. Bach-nál Contrapunctus-ában:

Engem mindig lenyűgöz Bach zenéje, de így bemutatva a szimmetriát fantasztikus:

http://strangepaths.com/?cp=1&p=295&language=en

Barátság

Vannak-e barátaid?

Mivel töltitek az időt?

Mit jelent a barátság számodra?

Mi a véleményed a két szürakuszai ifjú barátságáról?

Szerinted hány éves korban köttetnek az igaz barátságok?

Sok időnek el kell telni, hogy megbíz valakiben?

A KEZESSÉG

Püthagorasz tanítványai a barátságot olyan szent köteléknek te­kintették, amely életre-halálra összekapcsolja a barátokat. Az iga­zi barátság a jellem alakulása idején, az ifjúkorban kezdődik, és csak a halál szakíthatja végét. Ilyen igazi, püthagoreusi barátság fűzte össze Phintiaszt és Damónt, ezt a két szürakuszai ifjút. Az élet nemsokára próbára tette ezt a barátságot.

Szürakuszai zsarnoka, a kegyetlen Dionüsziosz, nagyon rette­gett az orgyilkosoktól. A besúgók csak növelték félelmét, egy­szer aztán feljelentették Phintiaszt is - azzal vádolták, hogy Dio­nüsziosz életére tör.

A zsarnok azonnal elfogatta Phintiaszt, s nem sokkal azután már ki is mondta halálos ítéletét.

Phintiasz bátran nézett szembe a halállal, mégis ilyen szavakkal fordult a zsarnokhoz :

Kegyelmet nem kérek, mindössze egy nap haladékot. Ha­laszthatatlan ügyet kell elintéznem szülőfalumban, kérlek, bo­csáss el, holnap estére visszatérek. Addig kezest hagyok hátra, Damón barátom vállalja értem a felelősséget.

- Ám legyen - mondta erre a zsarnok -, de ha holnap estig nem térsz vissza, Damónt kivégeztetem. Vállalod-e, Damón, a kockázatot?

Kockázat nincsen, mert barátom biztosan visszatér -- mondta erre Damón. - S ha az égiek akarata meggátolná a visszatérésben, boldogan meghalok érte.

Az udvari nép elcsodálkozott ezen, de bizony legtöbben biz­tosra vették, hogy Phintiasz nem tér vissza. Ugyan ki sietne meg­halni? Itt hagyja szépen a barátját, ha már az vállalta a kezességet.

Egész nap erről folyt á szó az udvarban, s amikor az este is el­jött, és Phintiasz nem érkezett meg, az udvariak gúnyolódni kezdtek Damónnal:

- No, te is megtudod, mit ér a barátság! Phintiasz messze jár, és téged itt hagyott a bajban!

Dionüsziosz pedig beváltotta fenyegetését, és parancsot adott az ifjú kivégzésére.

Damón csak annyit mondott:

Uram, napnyugtáig adtál barátomnak időt, s a nap még nem ment le.

Már csak percek voltak hátra.

És amikor a nap már-már leáldozott, Phintiasz nagy sietve megjelent.

- Itt vagyok, uram, bocsásd el barátomat!

Az udvari nép elbámult, Dionüsziosz pedig odalépett a két ba­ráthoz, megölelte, megcsókolta őket, és azt mondta:

- Vegyetek be harmadiknak barátságotokba!

Sokáig könyörgött nekik, megmagyarázta, mennyi hasznuk lesz ebből, de hiába beszélt: a két ifjú nem kötött vele barátságot.

Forrás: Lengyel Dénes: Ókori bölcsek nyomában

A feladatok megoldása

1. a, Igen, nem.

    b, Igen, nem.

2. A kettő az egyetlen páros prímszám.

3. Nem.

4. Hat.

5. a, Két év múlva.

    b, A jó kérdésfeltevés: Hány éve volt az apa kétszer annyi idős, mint a fia?

6. Hat és négy.

7. Az oldalak közepén legyenek a fák. Gyök kettő az új tó oldalainak hossza.

8. Minden mérkőzésnek egy győztese és egy vesztese van. A vesztes nem vehet részt a további fordulókban. Minden játékos, a bajnok kivételével, pontosan egyszer veszít.Így ugyanannyi mérkőzés van, ahány vesztes. Azaz a mérkőzések száma eggyel kisebb a játékosokénál. (1024)

Pólya György: A gondolkodás iskolája, Gondolat, 1977.

Közös utazás a matematikában

SEGÍTSÉG MATEK!

Mit szólsz a következő feladatokhoz?

Jaj, rá se tudok nézni?

Szöveges matek példák? Ne, már…

Olvasnám, de összefolynak a betűk…

Matek órán is inkább rajzolgatok, bambulok, olvasok a pad alatt, vagy az okos telefonommal játszom…

Ha mégis szánsz rá egy kis időt, de nehezen megy, vagy lassan, sehogy nem akar az eredmény kijönni, akkor ott a helyed a csoportomban.

Közös utazást tervezek a matematikában

Részleteket megtalálod a feladatok után. Bátran ugord át őket, ha zavarnak.

1.) Osztható-e néggyel: a, 3 478 524       b, 312 486 434

2.) Osztható-e kilenccel: a, 234     b, 2 304 577

     

Válaszait indokolja!

3.) Sorolja fel a páros prímszámokat!

4.) Prímszámok-e: 5040, 5042, 5043, 5044, 5045, 5046, 5047 (Segítség: 5040=2.3-4.5-6.7)

5.) Gondoltam egy számot, megszoroztam 5-tel, elosztottam 2-vel, hozzáadtam 3-at és 18-at kaptam. Melyik ez a szám?

6.) a, Egy apa 48 éves, a fia 23 éves; hány év múlva lesz az apa éppen kétszer annyi idős, mint a fia?

b, Egy apa 52 éves, a fia 27 éves; hány év múlva lesz az apa éppen kétszer annyi idős, mint a fia?

7.) Két számot gondoltam egyszerre; az összegük 10 és a különbségük 2. Melyik ez a két szám?

8.) Egy négyzet alakú halastónak mind a négy sarkát egy-egy fa díszíti, ezt a tavat akarják kibővíteni kétszer akkora területűre, de úgy, hogy az új tó is négyzet alakú legyen és a fák a helyükön maradjanak. Hogyan lehetséges ez? Készítsen rajzot!

Ha az eredetei halas tó minden oldala 1 km, mekkorák lesznek az új tó oldalai?

9.) Tekintsünk egy 1025 teniszjátékosból álló társaságot. Képzeljük el, hogy a társaság bajnokságot szervez a következő rendszer szerint. A játékosokat párba sorolják, egy embernek természetesen nem jut pár. Az egyes párok megmérkőznek, a vesztesek kiesnek. A második fordulóban a győztesek és az első fordulóban pár nélkül maradt játékos vehetnek részt. A második forduló párosítását ugyanúgy készítik el, mint az elsőét, ismét kisorsolnak egy játékost, aki ebből a fordulóból játék nélkül jut tovább. Ezt addig folytatják, amíg mindenki ki nem esik és az utolsó mérkőzés győztese lesz a bajnok. A bajnok tehát nem vert meg mindenkit, de minden játékos kikapott valakitől, aki kikapott valakitől..., aki kikapott a bajnoktól. A kérdés: összesen hány mérkőzésre került sor?

Forrás: Péter Rózsa: Játék a végtelennel