A barátságos számok

 „Számok uralják a világot.”   

Püthagorasz

I.e. az V. században a püthagoreusoknál találkozunk először ezzel a fogalommal. Szerintük az ilyen tulajdonsággal bíró számok különleges kapcsolatban állnak egymással, amelyet képesek emberekre is átvetíteni. A püthagoreus számmisztikában a 220 és a 284 a barátság szimbólumai. Két szám baráti viszonyban van, ha bármelyikük önmagánál kisebb osztóinak összege kiadja a másikat, pl.: 220; 284.

220 osztóinak összege: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 és fordítva is igaz. A következő ilyen számpárt (1 184; 1 210) csak az 1800-as évek végén találta meg egy 16 éves olasz diák. A 20.században kiterjesztették a fogalmat kettőnél több számra is, azaz barátságos láncokat képeztek az osztók összege szerint.  Az ily módon önmagába visszatérő sorozatot alkotó számcsoportokat társas számoknak nevezték el.  Például az 1264460, 1547860, 1727636, 1305184 társas számnégyes, mivel 1305184 osztóinak összege ismét 1264460-at ad. Eddig összesen 127 ilyen tulajdonsággal rendelkező csoportot találtak.

Későbbi az 1 184 és 1 210. A baráti számpárok megkeresésének módját Szábit ibn Kurra (836-901) arab matematikus ismertette. Fermat (1601-1665), és tőle függetlenül a lengyel Brozsek (1585-1652),fedezte fel a 17 296 és 18 416 párt. (Brozsek bebizonyította továbbá, hogy 1-10 000 000 között csak 4 tökéletes szám van). Descartes-tól (1596-1650) származik a 9 363 584 és 9 437 056. Euler (1707-1783), még további 61 baráti számpárt adott meg!

Az 1960-as években az amerikai Yale Egyetemen, számítógéppel keresték meg az 1.000.000-nál kisebb baráti számpárokat. 42 ilyen számpárt találtak.

2 620 és 2 924	5 020 és 5 564	6 232 és 6 368	10 744 és 10 856	12 285 és 14 595
63 020 és 76 084	66 928 és 66 992	67 095 és 71 145	69 615 és 87 633	79 750 és 88 730

E számpárokhoz a keleti világban a következő történet kapcsolódik:

Élt egyszer egy szultán, aki nagy problémamegoldó hírében állt. Egy nap a palotája őreitől hallotta, hogy a legutóbbi háborúban foglyul ejtettek egy távoli országból származó matematikust. Az uralkodó másnap cellájában meglátogatta a tudóst, és a következő ajánlatot tette neki: „Életed végéig itt fogsz raboskodni, hacsak fel nem adsz nekem egy nehéz példát. Ameddig megoldom, szabadon járhatsz-kelhetsz, ám ha rájöttem a megfejtésre, fejedet vétetem.” A messziről jött matematikus nem sokat gondolkodott a feladványon: „A 220 önmagánál kisebb osztóinak összege 284, a 284 önmagánál kisebb osztóinak összege 220. Találj még egy ilyen számpárt, ó, szultán!” A tudós a legenda szerint végül öregkori végelgyengülésben lelte halálát, mivel a szultán nem tudott előállítani újabb barátságos számpárt.

Érdekes sejtés, hogy a baráti számpárok mindkét száma, egyszerre páros vagy egyszerre páratlan. Az sem bizonyított, de úgy tűnik, hogy a számpárok növekedésével az egymáshoz tartozó két szám hányadosa az 1-hez közeledik. De mindkettő csak sejtés…

Forrás: http://www.erdekessegek.hu/index2_13.htm

Tökéletes számok

Valamely pozitív egész számot tökéletesnek tekintünk, ha egyenlő az önmagától különböző osztóinak összegével. Az első ilyen a 6, mivel felírható 1, 2 és 3 összegeként. Érdekes, hogy a hasonló tulajdonsággal rendelkező számok igen ritkán fordulnak elő: a mellékelt táblázatban felsoroltuk az első nyolcat.

6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128

Eukleidész (i.e. 300 körül) kezdte vizsgálni a tökéletes számok előállítását. A következő módszerre jött rá: adjuk össze el 1-től kezdve a 2 egymás után következő hatványait – azaz kezdjük el összegezni az 1, 2, 4, 8, 16, stb. sorozatot! Ha az összeg éppen prímszám, akkor szorozzuk ezt meg a sorozat utolsó tagjával, és tökéletes számot kapunk. Próbaképpen a 496 előállítása: 1+2+4+8+16=31 (prímszám), 31∙16=496.

Eukleidész tudta, hogy ha 2^k+1 -1 törzsszám, (ahol is "k" természetes szám), akkor 2^k (2^k+1 -1) tökéletes szám.

Már Euler (1707-1783) kimutatta, hogy fordítva is így van, azaz hogy az összes páros tökéletes szám, 2^k (2^k+1 -1) alakú.

Az ötödik tökéletes számot Regiomontanus (1436-1476) találta meg. Ez a k=12-höz tartozó, 2¹² (2¹³-1) = 33 550 336. A XVI. században Johann Seheybl (1494-1580) tübingeni matematikus a hatodik és a hetedik tökéletes számot fedezte fel, a k =16 és a k =18 kitevõk esetén. Euler a k = 30-ra mutatta ki, hogy 2³⁰ (2³¹ -1) is tökéletes szám.

A XIX. században négy új tökéletes számot ismertek meg. Ezek a 2⁶⁰ (2⁶¹ -1), a 2⁸⁸ (2⁸⁹ -1), a 2¹⁰⁶ (2¹⁰⁷ -1) és a 2¹²⁶ (2¹²⁷ -1).

A XX. században már számítógépekkel vadásztak a tökéletes számokra. Az eredmény: 2⁵²⁰ (2⁵²¹ -1), a 2⁶¹⁶ (2⁶¹⁷ -1), a 2¹²⁷⁸ (2¹²⁷⁹ -1), a 2²¹⁷⁰ (2²¹⁷¹ -1), a 2²²⁰² (2²²⁰³ -1), a 2²²⁸⁰ (2²²⁸¹ -1), a 2³²¹⁶ (2³²¹⁷ -1), és a 2⁴⁴⁴⁹⁶ (2⁴⁴⁴⁹⁷ -1).

Püthagorasz szerint a nem tökéletes számok osztóik összege szerint lehetnek fogyatékosak vagy bővelkedők. Az előbbire példa a 8 (mivel 1+2+4=7 < 8), az utóbbira a 12 (1+2+3+4+6=16 > 12). Érdekességképpen megjegyezzük, hogy egy tökéletes szám többszöröse mindig bővelkedő, valamint minden 20161-nél nagyobb szám felírható két bővelkedő szám összegeként. Hasonlóképpen minden tökéletes szám osztója fogyatékos, csakúgy, mint a prímszámok, illetve ezek többszörösei.

Sokszög-számok
 

Püthagorasz az elsők között hozta kapcsolatba a geometriát az aritmetikával. Megkülönböztetett három-, négy-, öt- és hatszögszámokat aszerint, hogy az adott szabályos sokszöget hány egyenlő távolságban elhelyezett kavicsból lehet kirakni. Beszéltek ezeken kívül téglalap- tetraéder-, gnómon- (L alakba rendezhető), stb. számokról. Lineárisnak nevezték azon kavicsmennyiségeket, amelyeket kizárólag egy szakasz mentén tudtak lerakni – ma ezeket prímeknek hívjuk.